（2012•成都）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与

Question

（2012•成都）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=(9)/(2)a时，P、Q两点间的距离 （用含a的代数式表示）．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，
∴BP=CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
∵

BE＝CE

∠B＝∠C

BP＝CQ

，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）连接PQ，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴(BP)/(CE)＝(BE)/(CQ)，
∵BP=a，CQ=(9)/(2)a，BE=CE，
∴(a)/(CE)＝(CE)/((9)/(2)a)，
∴BE=CE=(3√(2))/(2)a，
∴BC=3√(2)a，
∴AB=AC=BC•sin45°=3a，
∴AQ=CQ-AC=(3)/(2)a，PA=AB-BP=2a，
在Rt△APQ中，PQ=√(AQ2+AP2)=(5)/(2)a．