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如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;(2)当点O运动到何处,且△ABC
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如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;
(2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
(3)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,请证明,若不是,则说明理由.
(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;
(2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
(3)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,请证明,若不是,则说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)OE=OF.理由如下:
∵CE是∠ACB的角平分线,
∴∠ACE=∠BCE,
又∵MN∥BC,
∴∠NEC=∠ECB,
∴∠NEC=∠ACE,
∴OE=OC,
∵CF是∠BCA的外角平分线,
∴∠OCF=∠FCD,
又∵MN∥BC,
∴∠OFC=∠ECD,
∴∠OFC=∠COF,
∴OF=OC,
∴OE=OF;
(2)△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形.
∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO,
又∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵FO=CO,
∴AO=CO=EO=FO,
∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
已知MN∥BC,当∠ACB=90°,则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°,
∴AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.
(3)不可能.
如图所示,
∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,
∴∠ECF=
∠ACB+
∠ACD=
(∠ACB+∠ACD)=90°,
若四边形BCFE是菱形,则BF⊥EC,
但在△GFC中,不可能存在两个角为90°,所以不存在其为菱形.
∵CE是∠ACB的角平分线,
∴∠ACE=∠BCE,
又∵MN∥BC,
∴∠NEC=∠ECB,
∴∠NEC=∠ACE,
∴OE=OC,
∵CF是∠BCA的外角平分线,
∴∠OCF=∠FCD,
又∵MN∥BC,
∴∠OFC=∠ECD,
∴∠OFC=∠COF,
∴OF=OC,
∴OE=OF;
(2)△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形.
∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO,
又∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵FO=CO,
∴AO=CO=EO=FO,
∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
已知MN∥BC,当∠ACB=90°,则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°,
∴AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.
(3)不可能.
如图所示,
∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,
∴∠ECF=
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若四边形BCFE是菱形,则BF⊥EC,
但在△GFC中,不可能存在两个角为90°,所以不存在其为菱形.
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