如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC．∠BAC的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：EB=EC；（2）分别求式子AB+ACBF、AB-ACAF的值；（3）若EF=AC=3，AB=5，求△AEF的面积．

Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC．∠BAC的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为F．

（1）求证：EB=EC；
（2）分别求式子(AB+AC)/(BF)、(AB-AC)/(AF)的值；
（3）若EF=AC=3，AB=5，求△AEF的面积．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC的外角平分线交⊙O于E，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠EBC，∠2=∠3，
∴∠EBC=∠3，
∴EB=EC；
（2） 在BA上截取BD=CA，如图，
在△BED和△CEA中

BE=CE

∠4=∠5

BD=CA

，
∴△BED≌△CEA（SAS），
∴ED=EA，
∵EF⊥AD，
∴DF=AF，
∴AB+AC=BD+DF+FA+BD=BF+DF+BD=2BF，
AB-AC=BD+DF+AF-BD=2AF，
∴(AB+AC)/(BF)=(2BF)/(BF)=2，(AB-AC)/(AF)=(2AF)/(AF)=2；
（3） 由（2）得BD=AC=3，
∵AB=BD+DF+AF=AC+2AF，
∴3+2AF=5，
∴AF=1，
而EF=3，
∴△AEF的面积=(1)/(2)×3×1=(3)/(2)．