设{an}是公比为q的等比数列．（Ⅰ）试推导{an}的前n项和公式；（Ⅱ）设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列．

Question

设{a_n}是公比为q的等比数列．
（Ⅰ）试推导{a_n}的前n项和公式；
（Ⅱ） 设q≠1，证明数列{a_n+1}不是等比数列．

Answer 1

（I）当q=1时，S_n=na₁；
当q≠0，1时，由S_n=a₁+a₂+…+a_n，
得qS_n=a₁q+a₂q+…+a_n-1q+a_nq．
两式错位相减得（1-q）S_n=a₁+（a₂-a₁q）+…+（a_n-a_n-1q）-a_nq，（*）
由等比数列的定义可得(a2)/(a1)=(a3)/(a2)=…=(an)/(an-1)=q，
∴a₂-a₁q=a₃-a₂q=…=0．
∴（*）化为（1-q）S_n=a₁-a_nq，
∴Sn=(a1-anq)/(1-q)=(a1-a1qn)/(1-q)=(a1(1-qn))/(1-q)．
∴Sn=

na1，		(q=1)
(a1(1-qn))/(1-q)，	(q≠1)

；
（Ⅱ）用反证法：设{a_n}是公比为q≠1的等比数列，数列{a_n+1}是等比数列．
①当存在n∈N^*，使得a_n+1=0成立时，数列{a_n+1}不是等比数列．
②当∀n∈N^*（n≥2），使得a_n+1≠0成立时，则(an+1+1)/(an+1)=(a1qn+1)/(a1qn-1+1)=(a1q+1)/(a1+1)，
化为（q^n-1-1）（q-1）=0，
∵q≠1，∴q-1≠0，q^n-1-1≠0，故矛盾．
综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．