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(2011•随州)如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA的外角的平分线,F为AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.(1)求证:△ABD为等腰三角形.(2)求证:AC•AF=DF•FE.
题目详情
(2011•随州)如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA的外角的平分线,F为
上一点,BC=AF,
延长DF与BA的延长线交于E.
(1)求证:△ABD为等腰三角形.
(2)求证:AC•AF=DF•FE.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5243fbf2b21193136f9d490166380cd790238da1.jpg)
(1)求证:△ABD为等腰三角形.
(2)求证:AC•AF=DF•FE.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵四边形ABCD是圆O的内接四边形,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5243fbf2b21193136f9d490166380cd790238da1.jpg)
∴∠DCB+∠DAB=180°,
∵∠MCD+∠DCB=180°,
∴∠MCD=∠DAB,
∵CD为∠BCA的外角的平分线,
∴∠MCD=∠ACD,
∵∠DCA和∠DBA都对弧AFD,
∴∠DCA=∠DBA,
∴∠DAB=∠DBA,
∴DB=DA,
∴△ABD为等腰三角形.
(2)由(1)知AD=BD,BC=AF,则弧AFD=弧BCD,弧AF=弧BC,
∴∠BDC=∠ADF,弧CD=弧DF,CD=DF,①
∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA,
即∠CDA=∠BDF,
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°,
∴∠FAE=∠BDF=∠CDA,
同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA与△FAE中,∠CDA=∠FAE,∠DCA=∠AFE,
∴△CDA∽△FAE,
∴即CD•EF=AC•AF,
又由①有AC•AF=DF•EF命题即证.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5243fbf2b21193136f9d490166380cd790238da1.jpg)
∴∠DCB+∠DAB=180°,
∵∠MCD+∠DCB=180°,
∴∠MCD=∠DAB,
∵CD为∠BCA的外角的平分线,
∴∠MCD=∠ACD,
∵∠DCA和∠DBA都对弧AFD,
∴∠DCA=∠DBA,
∴∠DAB=∠DBA,
∴DB=DA,
∴△ABD为等腰三角形.
(2)由(1)知AD=BD,BC=AF,则弧AFD=弧BCD,弧AF=弧BC,
∴∠BDC=∠ADF,弧CD=弧DF,CD=DF,①
∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA,
即∠CDA=∠BDF,
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°,
∴∠FAE=∠BDF=∠CDA,
同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA与△FAE中,∠CDA=∠FAE,∠DCA=∠AFE,
∴△CDA∽△FAE,
∴即CD•EF=AC•AF,
又由①有AC•AF=DF•EF命题即证.
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