在半径为R的圆的内接四边形ABCD中，AB=，BC=，，且△ACD的面积等于△ABC面积的3倍，求：（1）圆的半径R；（2）的值；（3）四边形ABCD的周长．

Question

在半径为R的圆的内接四边形ABCD中，AB= ，BC= ， ，且△ACD的面积等于△ABC面积的3倍，求：
（1）圆的半径R；
（2） 的值；
（3）四边形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】分析：（1）求半径有如下方法：构造含半径R的三角形，解三角形求出半径R值；或是根据正弦定理，===2R，根据本题的已知条件，可知用正弦定理相对可行，故可由余弦定理求出AC，再由正弦定理求R．（2）要求 ，根据向量数量积的计算公式，我们要求出两个向量模的积及夹角的余弦值，由∠B与∠D互补，夹角的余弦值易得，然后根据△ACD的面积等于△ABC面积的3倍，也可以得到两个向量模的积，代入可得答案．（3）由AB=，BC=，我们要求四边形的周长，关键是要求出AD、CD边的长，结合（2）结论和余弦定理，易得答案．（1）在三角形ABC中，有余弦定理：AC2=AB2+BC2-2AB?BCcos∠ABC，∵AB=，BC=，，所以AC=3，由正弦定理可知：，∴；（2），因为△ACD的面积等于△ABC面积的3倍，即 =∴DA?DC=3BA?BC，∵BA?BC=2，∴；（3）三角形ADC中，有AC2=AD2+CD2-2AD?CDcos∠DAC，又∵DA?DC=6，所以有AD2+AC2=12，从而有，所以四边形ABCD的周长为．点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及平面向量的数量积运算，求圆的半径有如下方法：①构造含半径R的三角形，解三角形求出半径R值；②如果圆为△ABC的外接圆，则根据正弦定理，===2R；③如果圆为△ABC的内切圆，则根据面积公式S=?l?r（其中l表示三角形的周长）．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．