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如图,四边形ABCD内接于⊙O,并且AD是⊙O的直径,C是弧BD的中点,AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证:BC=EC.
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如图,四边形ABCD内接于⊙O,并且AD是⊙O的直径,C是弧BD的中点,AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证:BC=EC.
▼优质解答
答案和解析
证明:连接AC.
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°=∠ACE.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠D+∠ABC=180°,又∠ABC+∠EBC=180°,
∴∠EBC=∠D.
∵C是弧BD的中点,
∴∠1=∠2,
∴∠1+∠E=∠2+∠D=90°,
∴∠E=∠D,
∴∠EBC=∠E,
∴BC=EC.
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°=∠ACE.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠D+∠ABC=180°,又∠ABC+∠EBC=180°,
∴∠EBC=∠D.
∵C是弧BD的中点,
∴∠1=∠2,
∴∠1+∠E=∠2+∠D=90°,
∴∠E=∠D,
∴∠EBC=∠E,
∴BC=EC.
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