如图，BD是⊙O的直径，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=AC，AH⊥BD于点H，延长CD至点E．（1）求证：∠ADE=∠ADB；（2）求证：BH=HD+CD；（3）若DC=3DH，试求tan∠ADE和sin∠BDC的值．

Question

如图，BD是⊙O的直径，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=AC，AH⊥BD于点H，延长CD至点E．

（1）求证：∠ADE=∠ADB；
（2）求证：BH=HD+CD；
（3）若DC=3DH，试求tan∠ADE和sin∠BDC的值．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ADE=∠ADB；

（2）过点A作AF⊥CE于点F，
∵∠ADE=∠ADB，AH⊥BD，
∴AH=AF，DH=DF，
在Rt△ABH与Rt△ACF中，

AB=AC

AH=AF

∴Rt△ABH≌Rt△ACF（HL）
∴BH=CF，
∵CF=CD+DF=CD+DH，
∴BH=HD+CD，

（3）设DH=1，
∴DC=3，
∴BH=DC+DH=4，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°
∵∠ABH+∠BAH=∠BAH+∠DAH=90°，
∴∠ABH=∠DAH，
∴△ABH∽△DAH
∴AH²=BH•DH=4，
∴AH=2，
∴tan∠ADE=tan∠ADH=(AH)/(DH)=2，
∵BD=BH+DH=5，
∴由勾股定理可知：BC=4，
∴sin∠BDC=(BC)/(BD)=(4)/(5)