已知圆O的半径为R（R为常数），它的内接三角形ABC满足2R（sin2A-sin2C）=（a-b）sinB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．（1）求角C；（2）若c=7，且△ABC的面积为332，求△ABC的周长．

Question

已知圆O的半径为R（R为常数），它的内接三角形ABC满足2R（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．
（1）求角C；
（2）若c=√(7)，且△ABC的面积为(3√(3))/(2)，求△ABC的周长．

Answer 1

（1）∵2R（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，
由正弦定理得a=2Rsin A，b=2R sinB，c=2R sinC，
代入上式得a²-c²=ab-b²，即a²+b²-c²=ab，
由余弦定理得cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(ab)/(2ab)=(1)/(2)，
又C为△ABC的内角，∴C=(π)/(3)．
（2）S△abc=(1)/(2)absinC=(3√(3))/(2)，
∵C=(π)/(3)，∴ab=6cos(π)/(3)=(a2+b2-c2)/(2ab)=((a+b)2-2ab-7)/(2ab)=(1)/(2)．
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+√(7)．