如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连结BE、DG．（1）求证：BE=DG，BE⊥DG；（2）连接BD、EG、DE，点M、N、P分别是BD、EG、DE的中点，连接MP，PN，MN，求证：△MPN是等腰直角三角形；（3）若AB=4

Question

如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连结BE、DG．

（1）求证：BE=DG，BE⊥DG；
（2）连接BD、EG、DE，点M、N、P分别是BD、EG、DE的中点，连接MP，PN，MN，求证：△MPN是等腰直角三角形；
（3）若AB=4，EF=2 √(2)，∠DAE=45°，直接写出MN=___．

Answer 1

（1）证明：∵正方形ABCD和正方形AEFG，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAD+∠DAE=∠EAG+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAG，
∵在△BEA与△DAG中，

AB=AD

∠BAE=∠DAG

AE=AG

，
∴△BEA≌△DAG（SAS），
∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，
∴∠BOD=∠BAD=90°，
∴BE⊥DG；

（2）证明：如图，

由三角形中位线定理可得：MP∥BE，MP=(1)/(2)BE，
PN∥DG，PN=(1)/(2)DG，
∴PM=PN，∠MPN=∠BOD=90°，
即△MPN是等腰直角三角形；

（3） 如图，

过点G作GH垂直于DA的延长线于点H，
∵∠DAE=45°，∠EAG=90°，
∴∠HAG=45°，
∵EF=2√(2)，
∴AH=HG=2，
∵AB=4，
∴DH=6，
∴DG=√(62+22)=2√(10)，
∴NP=MP=√(10)，
∴MN=2√(5)．