如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=5，AB=1，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．（1）如图1，当BP=时，△ADP是等腰直角三角形．（请直接写出答案）

Question

如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=5，AB=1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，当BP=___时，△ADP是等腰直角三角形．（请直接写出答案）
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并加以证明．
（3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，请画出图形，并求线段B′D的长度．（参考定理：若直角△ABC中，∠C是直角，则BC²+AC²=AB²）

Answer 1

（1）当BP=4时，CP=BC-BP=5=4=1，
∵AB=1，
∴AB=PC，
∵AB⊥BC，DP⊥AP，CM⊥BC，
∴∠B=∠C=90°，∠APB+∠DPC=90°=∠PDC+∠DPC，
∴∠APB=∠PDC，
在△APB和△PDC中，

∠B=∠C

∠APB=∠PDC

AB=PC

，
∴△APB≌△PDC（AAS），
∴AP=DP，
又∵∠APD=90°，
∴△ADP是等腰直角三角形，
故答案为：4；

（2）PB和PC的数量关系：PB=PC，
证明：如图2，延长线段AP、DC交于点E，
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠EDP．
∵DP⊥AP，
∴∠DPA=∠DPE=Rt∠．
在△DPA和△DPE中，

∠ADP=∠EDP

DP=DP

∠DPA=∠DPE

，
∴△DPA≌△DPE（ASA），
∴PA=PE．
∵AB⊥BP，CM⊥CP，
∴∠ABP=∠ECP=Rt∠．
在△APB和△EPC中，

∠ABP=∠ECP

∠APB=∠EPC

PA=PE

，
∴△APB≌△EPC（AAS），
∴PB=PC； 

（3）如图，连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，则∠B'FC=∠C=90°，
∵△PDC是等腰三角形，
∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC=45°，
又∵DP⊥AP，
∴∠APB=45°，
∵点B关于AP的对称点为点B′，
∴∠BPB'=90°，∠APB=45°，BP=B'P，
∴△ABP为等腰直角三角形，四边形B'PCF是矩形，
∴BP=AB=1=B'P，PC=5=1=4=B'F，CF=B'P=1，
∴B'F=4，DF=4-1=3，
∴Rt△B'FD中，B'D=√(42-32)=5，
故线段B′D的长度为5．