如图①，已知正方形ABCD的边长为2，半圆O的直径为CD，点E从A出发以每秒1个单位长度向D运动，点F从C出发以每秒2个单位长度向B运动，当点F运动到点B时，点E也随之停止运动，设运动的时间为

Question

如图①，已知正方形ABCD的边长为2，半圆O的直径为CD，点E从A出发以每秒1个单位长度向D运动，点F从C出发以每秒2个单位长度向B运动，当点F运动到点B时，点E也随之停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当EF与半圆O相切时，求t的值；
（2）如图②，点P是EF的中点，点Q是△PDC的外心．
①当t=(4)/(5)时，求PQ的长；
②直接写出点Q运动路线的长．

Answer 1

（1）如图1中，设直线EF与⊙O相切于点K．作FM⊥AD于M．则四边形CDMF是矩形，

易知ED=EK=2-t，FC=FK=2t，
∴EF=2+t，EM=2-t-2t=2-3t，FM=CD=2，
在Rt△EFM中，∵EF²=FM²+EM²，
∴（2+t）²=2²+（2-3t）²，
∴t=(1)/(4)或1（舍弃），
∵t=(1)/(4)s时，直线EF与⊙O相切．

（2）①如图2中，当t=(4)/(5)时，AE=(4)/(5)，CF=(8)/(5)，ED=2-(4)/(5)=(6)/(5)

∵四边形CDEF是直角梯形，
又∵EP=PF，DO=OC，
∴OP=(DE+CF)/(2)=(7)/(5)，
∵Q是△PDC的外心，
∴PQ=(2)/(3)OP=(14)/(15)．

②如图3中，

当点F运动到与B重合时，OP=(3)/(2)，OQ=(1)/(3)OP=(1)/(2)，
当起始位置时，OQ=(1)/(3)，
∴点Q的运动路径为(1)/(2)-(1)/(3)=(1)/(6)．