在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，4）．（1）如图1，若点B在x轴正半轴上，点C（1，-1），且AB=BC，AB⊥BC，求点B坐标．（2）如图2，若点B在x轴负半轴上，AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，∠BFM=4

Question

在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，4）．
（1）如图1，若点B 在x轴正半轴上，点C（1，-1），且AB=BC，AB⊥BC，求点B坐标．
（2）如图2，若点B在x轴负半轴上，AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，∠BFM=45°，MF交直线AE于M．求证：OB+BM=AM．

Answer 1

（1） 如图1，过A作AD⊥x轴，CE⊥x轴，垂足分别为D、E．
∵AD⊥x轴，CE⊥x轴，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠EBC+∠ABD=90°，
∴∠DAB=∠EBC，
在△ADB与△BEC中，

∠ADB=∠BEC

∠DAB=∠EBC

AB=BC

，
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴BD=CE，
∵A（4，4），C（1，-1），
∴OD=4，CE=1，
∴OB=OD+BD=OD+CE=4+1=5，
∴B（5，0）；

（2） 如图2，在AM上截取AN=OB，连接FN，
∵A（4，4），
∴OF=AF=4，
在△BOF与△NAF中，

AN=OB

∠A=∠BOF

OF=AF

，
∴△BOF≌△NAF（SAS），
∴∠BFO=∠NFA，BF=NF，
∵∠BFM=∠BFO+∠OFM=45°，
∴∠NFA+∠OFM=45°，
∴∠OFA=90°，
∴∠NFM=∠OFA-（∠NFA+∠OFM）
=90⁰-45⁰=45°，
∴∠BFM=∠NFM，
在△BFM与△NFM中，

BF=AN

∠BFM=∠NFM

FM=FM

，
∴△BFM≌△NFM（SAS），
∴BM=NM，
∴AM=AN+NM=OB+BM．