如图，点P是正方形ABCD对角线BD上一点，作PE⊥DC于E，PF⊥BC于F．（1）求证：AP=EF；（2）若正方形ABCD的边长为4cm，当BP=32cm时，求AP的长度．

Question

如图，点P是正方形ABCD对角线BD上一点，作PE⊥DC于E，PF⊥BC于F．

（1）求证：AP=EF；
（2）若正方形ABCD的边长为4cm，当BP=3√(2)cm时，求AP的长度．

Answer 1

（1）证明：连接PC，
∵ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴PFCE是矩形，
∴EF=PC，
在△ABP和△CBP中
AB=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴AP=CP，
∵EF=CP，
∴AP=EF．
（2）∵ABCD是正方形，
∴∠PBF=45°，
∴△PFB是等腰直角三角形，
∵BP=3√(2)cm，
∴BF=PF=3cm，
∵正方形ABCD的边长是4cm，
∴FC=1cm，
∴PC=√(PF2+FC2)=√(10)（cm），
∴AP=√(10)cm，
答：AP的长是√(10)cm．