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(2014•盐城)问题情境张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:如图1,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足
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(2014•盐城)【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:如图1,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.求证:PD+PE=CF.
小军的证明思路是:如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.
小俊的证明思路是:如图2,过点P作PG⊥CF,垂足为G,可以证得:PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF.
【变式探究】如图3,当点P在BC延长线上时,其余条件不变,求证:PD-PE=CF;
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:
【结论运用】如图4,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值;
【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图.在四边形ABCD中,E为AB边上的一点,ED⊥AD,EC⊥CB,垂足分别为D、C,且AD•CE=DE•BC,AB=2
dm,AD=3dm,BD=
dm.M、N分别为AE、BE的中点,连接DM、CN,求△DEM与△CEN的周长之和.
小军的证明思路是:如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.
小俊的证明思路是:如图2,过点P作PG⊥CF,垂足为G,可以证得:PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF.
【变式探究】如图3,当点P在BC延长线上时,其余条件不变,求证:PD-PE=CF;
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:
【结论运用】如图4,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值;
【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图.在四边形ABCD中,E为AB边上的一点,ED⊥AD,EC⊥CB,垂足分别为D、C,且AD•CE=DE•BC,AB=2
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▼优质解答
答案和解析
【问题情境】证明:(方法1)连接AP,如图②
∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,
且S△ABC=S△ABP+S△ACP,
∴
AB•CF=
AB•PD+
AC•PE.
∵AB=AC,
∴CF=PD+PE.
(方法2)过点P作PG⊥CF,垂足为G,如图②.
∵PD⊥AB,CF⊥AB,PG⊥FC,
∴∠CFD=∠FDP=∠FGP=90°.
∴四边形PDFG是矩形.
∴DP=FG,∠DPG=90°.
∴∠CGP=90°.
∵PE⊥AC,
∴∠CEP=90°.
∴∠PGC=∠CEP.
∵∠BDP=∠DPG=90°.
∴PG∥AB.
∴∠GPC=∠B.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∴∠GPC=∠ECP.
在△PGC和△CEP中,
∴△PGC≌△CEP.
∴CG=PE.
∴CF=CG+FG
=PE+PD.
【变式探究】
证明:(方法1)连接AP,如图③.
∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,
且S△ABC=S△ABP-S△ACP,
∴
AB•CF=
AB•PD-
AC•PE.
∵AB=AC,
∴CF=PD-PE.
【结论运用】过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,如图④,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠C=∠ADC=90°.
∵AD=8,CF=3,
∴BF=BC-CF=AD-CF=5.
由折叠可得:DF=BF,∠BEF=∠DEF.
∴DF=5.
∵∠C=90°,
∴DC=
=
=4.
∵EQ⊥BC,∠C=∠ADC=90°,
∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC.
∴四边形EQCD是矩形.
∴EQ=DC=4.
∵AD∥BC,
∴∠DEF=∠EFB.
∵∠BEF=∠DEF,
∴∠BEF=∠EFB.
∴BE=BF.
由问题情境中的结论可得:PG+PH=EQ.
∴PG+PH=4.
∴PG+PH的值为4.
【迁移拓展】延长AD、BC交于点F,作BH⊥AF,垂足为H,如图⑤.
∵AD•CE=DE•BC,
∴
∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,
且S△ABC=S△ABP+S△ACP,
∴
1 |
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1 |
2 |
1 |
2 |
∵AB=AC,
∴CF=PD+PE.
(方法2)过点P作PG⊥CF,垂足为G,如图②.
∵PD⊥AB,CF⊥AB,PG⊥FC,
∴∠CFD=∠FDP=∠FGP=90°.
∴四边形PDFG是矩形.
∴DP=FG,∠DPG=90°.
∴∠CGP=90°.
∵PE⊥AC,
∴∠CEP=90°.
∴∠PGC=∠CEP.
∵∠BDP=∠DPG=90°.
∴PG∥AB.
∴∠GPC=∠B.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∴∠GPC=∠ECP.
在△PGC和△CEP中,
|
∴△PGC≌△CEP.
∴CG=PE.
∴CF=CG+FG
=PE+PD.
【变式探究】
证明:(方法1)连接AP,如图③.
∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,
且S△ABC=S△ABP-S△ACP,
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵AB=AC,
∴CF=PD-PE.
【结论运用】过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,如图④,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∠C=∠ADC=90°.
∵AD=8,CF=3,
∴BF=BC-CF=AD-CF=5.
由折叠可得:DF=BF,∠BEF=∠DEF.
∴DF=5.
∵∠C=90°,
∴DC=
DF2−CF2 |
=
52−32 |
=4.
∵EQ⊥BC,∠C=∠ADC=90°,
∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC.
∴四边形EQCD是矩形.
∴EQ=DC=4.
∵AD∥BC,
∴∠DEF=∠EFB.
∵∠BEF=∠DEF,
∴∠BEF=∠EFB.
∴BE=BF.
由问题情境中的结论可得:PG+PH=EQ.
∴PG+PH=4.
∴PG+PH的值为4.
【迁移拓展】延长AD、BC交于点F,作BH⊥AF,垂足为H,如图⑤.
∵AD•CE=DE•BC,
∴
作业帮用户
2017-10-06
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