已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，PE=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）是否存在点P使△PEF是Rt

Question

已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，
PE=y．

（1）求y与x的函数关系式；
（2）是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，
∴sinC=(1)/(2)，
∵PE⊥BC于点E，
∴sinC=(PE)/(PC)=(1)/(2)，
∵PC=x，PE=y，
∴y=(1)/(2)x（0<x<20）；
（2）存在点P使△PEF是Rt△，
①如图1，当∠FPE=90°时，四边形PEBF是矩形，BF=PE=(1)/(2)x，
四边形APEF是平行四边形，PE=AF=(1)/(2)x，
∵BF+AF=AB=10，
∴x=10；
②如图2，当∠PFE=90°时，Rt△APF∽Rt△ABC，
∠ARP=∠C=30°，AF=40-2x，
平行四边形AFEP中，AF=PE，即：40-2x=(1)/(2)x，
解得x=16；
③当∠PEF=90°时，此时不存在符合条件的Rt△PEF．
综上所述，当x=10或x=16，存在点P使△PEF是Rt△．