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如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,PE=PB.(1)求证:①PE=PD;②PE⊥PD;(2)设AP=x,△PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式.
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如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,PE=PB. (1)求证:①PE=PD; ②PE⊥PD; (2)设AP=x,△PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式. |
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答案和解析
①∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线, ∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°. ∵PC=PC, ∴△PBC≌△PDC(SAS). ∴PB=PD,∠PBC=∠PDC. 又∵PB=PE, ∴PE=PD. ②(i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时, ∵PB=PE, ∴∠PBE=∠PEB, ∴∠PEB=∠PDC, 而∠PEB+∠PEC=180°, ∴∠PDC+∠PEC=180°, ∴∠DPE=360°﹣(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°, ∴PE⊥PD. (ii)当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PE⊥PD. (iii)当点E在BC的延长线上时,如图. ∵∠PEC=∠PDC,∠1=∠2, ∴∠DPE=∠DCE=90°, ∴PE⊥PD. 综合(i)(ii)(iii),PE⊥PD; (2)过点P作PF⊥BC,垂足为F,则BF=FE. ∵AP=x,AC= ,∠ACB=45°,PF⊥BC, ∴PC= ﹣x,PF=FC= . BF=FE=1﹣FC=1﹣( )= . ∴S △PBE = EB·FP=BF·PF= ( )= . 即 (0<x< ). |
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