已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD=16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图1，求证：△PBE∽△PDF；（2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时

Question

已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD=16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．

（1）如图1，求证：△PBE∽△PDF；
（2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时，求PB的长；
（3）如图2，对角线BD、AC交于点O，以PO为半径（PO>0）的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求PB的长．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，∠BEP=∠DFP，
∴△PBE∽△PDF；
（2）如图1，连接AC交BD于点O．则AC⊥BD，延长FP交BC于点M，则FM⊥BC．
∵PM=PE，
∴PE+PF=PF+PM=FM
在直角三角形AOB中，BO=(1)/(2)BD=8，
∴AO=√(AB2-BO2)=√(102-82)=6；
∴AC=2AO=12；
又∵S_菱形ABCD=(1)/(2)AC•BD=BC•FM，
∴(1)/(2)×12×16=10•FM，即FM=(48)/(5)；
因此，要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．所以当CP⊥BD，即点P与点O重合时，PE+PF+PC的值最小．
此时PB=BO=(1)/(2)BD=8；
（3）设PB=x，则PD=BD-PB=16-x．
∵PF⊥AD，
∴在Rt△PFD中，DF=DP•cos∠ADB=(4)/(5)（16-x）；
①当⊙P与⊙D外切时：
情况一：（如图2）当P点在点O的左侧，PO=OB-PB=8-x，此时PO+DF=PD，
∴（8-x）+(4)/(5)（16-x）=16-x，
解得，x=6，即PB=6；
情况二：（如图3），当P点在点O的右侧，PO=PB-OB=x-8，
此时PO+DF=PD，
∴（x-8）+(4)/(5)（16-x）=16-x，
解得，x=(28)/(3)，即PB=(28)/(3)；
②（如图4）当⊙P与⊙D内切时：
PO=PB-OB=x-8，
∵PD>DF，
∴PO-DF=PD，
∴（x-8）-(4)/(5)（16-x）=16-x，
解得，x=(92)/(7)，即PB=(92)/(7)；
综上所述，以PO（PO>0）为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，PB的长为6、或(28)/(3)或(92)/(7)．