已知前n项和为Sn的等差数列{an}的公差不为零，且a2=3，又a4，a5，a8成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正整数对（n，k），使得nan=kSn？若存在，求出所有正整数对（n，k）

Question

已知前n项和为S_n的等差数列{a_n}的公差不为零，且a₂=3，又a₄，a₅，a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数对（n，k），使得na_n=kS_n？若存在，求出所有正整数对（n，k）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为a₄，a₅，a₈成等比数列，所以a

2

5

=a₄a₈．
设数列{a_n}的公差为d，则（a₂+3d）²=（a₂+2d）（a₂+6d）．
将a₂=3代入上式化简整理得d²+2d=0，
又因为d≠0，所以d=-2．
于是a_n=a₂+（n-2）d=-2n+7，即数列{a_n}的通项公式为a_n=-2n+7．
（2）假设存在正整数对（n，k），使得na_n=kS_n，则由（1）知S_n=(n(a1+an))/(2)=6n-n²．
当n=6时，na_n=kS_n不成立，于是k=(nan)/(Sn)=(n(7−2n))/(6n−n2)=(2n−7)/(n−6)=2+(5)/(n−6)．
因为k为正整数，所以n-6≤5，即n≤11，且5被n-6整除，
故当且仅当n-6=±5，或n-6=1时，k为正整数．
即当n=1时，k=1；n=11时，k=3；n=7时，k=7．
故存在正整数对（1，1），（11，3），（7，7），使得na_n=kS_n成立．