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已知等差数列{an},公差d不为零,a1=1,且a2,a5,a14成等比数列;(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足bn=an•3n−1,求数列{bn}的前n项和Sn.
题目详情
已知等差数列{an},公差d不为零,a1=1,且a2,a5,a14成等比数列;
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=an•3n−1,求数列{bn}的前n项和Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=an•3n−1,求数列{bn}的前n项和Sn.
▼优质解答
答案和解析
(1)由a2,a5,a14成等比数列,
∴(a5)2=a2a14,
即(1+4d)2=(1+d)(1+13d),
解得,d=2或d=0(舍),
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)由(1)可得:bn=(2n−1)•3n−1,
∴Sn=1×1+3×31+5×32+…+(2n-1)•3n-1,
3Sn=3+3×32+5×33+…+(2n-3)•3n-1+(2n-1)•3n,
∴两式相减得:
-2Sn=1+2×(3+32+…+3n−1)−(2n−1)•3n=1+2×
−(2n−1)•3n=1+3n-3-(2n-1)•3n
∴Sn=(n-1)•2n+1.
∴(a5)2=a2a14,
即(1+4d)2=(1+d)(1+13d),
解得,d=2或d=0(舍),
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)由(1)可得:bn=(2n−1)•3n−1,
∴Sn=1×1+3×31+5×32+…+(2n-1)•3n-1,
3Sn=3+3×32+5×33+…+(2n-3)•3n-1+(2n-1)•3n,
∴两式相减得:
-2Sn=1+2×(3+32+…+3n−1)−(2n−1)•3n=1+2×
3(3n−1−1) |
3−1 |
∴Sn=(n-1)•2n+1.
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