王爷爷种了21棵枣树，平均每棵收枣193千克，估算一下，这些树共收枣多少千克？实际收枣多少千克？

Question

王爷爷种了21棵枣树，平均每棵收枣193千克，估算一下，这些树共收枣多少千克？实际收枣多少千克？

Answer 1

（1）由题可得当n≥2时，S_n-1=2ⁿ-c+1
从而a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ（n≥2），
又由于{a_n}为等比数列，所以a_n=2ⁿ（n∈N^*），
所以a₁=2¹=2；另一方面，当n=1时，a₁=S₁=2²-c+1=5-c
所以c=3，从而b_n=2n-1

（2）由（1）得dn＝(2n−1)/(2n)
所以D_n=d₁+d₂+d₃+d₄++d_n-1+d_nDn＝(1)/(21)+(3)/(22)+(5)/(23)+(7)/(24)++(2n−3)/(2n−1)+(2n−1)/(2n)①
从而(1)/(2)Dn＝(1)/(22)+(3)/(23)+(5)/(24)+(7)/(25)++(2n−3)/(2n)+(2n−1)/(2n+1)②
①-②得(1)/(2)Dn＝(1)/(21)+(2)/(22)+(2)/(23)+(2)/(24)++(2)/(2n)−(2n−1)/(2n+1)
解得Dn＝3−(2n+3)/(2n)
由于D_n是单调递增的，且(2n+3)/(2n)＞0，所以D₁≤D_n＜3，即

作业帮用户 2017-10-04

问题解析

（1）由题设知，S_n-1=2ⁿ-c+1，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ（n≥2），所以a₁=2¹=2；另一方面，当n=1时，a₁=S₁=2²-c+1=5-c，所以c=3，
从而b_n=2n-1．
（2）由dn＝(2n−1)/(2n)，知D_n=d₁+d₂+d₃+d₄+…+d_n-1+d_nDn＝(1)/(21)+(3)/(22)+(5)/(23)+(7)/(24)++(2n−3)/(2n−1)+(2n−1)/(2n)，再用错位相减法求出Dn＝3−(2n+3)/(2n)．然后利用D_n是单调递增的，求实数m的最大值和整数k的最小值．
（3）由b_n=2n-1得T_n=n²，(1)/(Tn)＝(1)/(n2)＜(1)/(n(n−1))＝(1)/(n−1)−(1)/(n)，所以由裂项求和法知(1)/(T1)+(1)/(T2)+(1)/(T3)++(1)/(Tn)＜2．

名师点评

本题考点：

等差数列与等比数列的综合．

考点点评：

本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的运用．

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