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求方程x+y+z=xyz的所有正整数解
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求方程x+y+z=xyz的所有正整数解
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答案和解析
因为 x+y+z=xyz 则,不妨设x≥y≥z
所以xyz=x+y+z≤3x
所以yz≤3
且,（y,z）为正整数 只可能为（3,1）,（2,1）,（1,1）
讨论：（y,z）=（3,1）,x+4=3x ,则x=2＜y 舍弃!
（y,z）=(2,1） ,3+x=2x ,则x=3 满足条件
（y,z）=（1,1）,2+x=x,则无解!
所以x=3,y=2,z=1
所以xyz=x+y+z≤3x
所以yz≤3
且,（y,z）为正整数 只可能为（3,1）,（2,1）,（1,1）
讨论：（y,z）=（3,1）,x+4=3x ,则x=2＜y 舍弃!
（y,z）=(2,1） ,3+x=2x ,则x=3 满足条件
（y,z）=（1,1）,2+x=x,则无解!
所以x=3,y=2,z=1
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