若正整数a、b、c、x、y、z满足ax=b+c,by=a+c,cz=a+b,求xyz的值

Question

若正整数a、b、c、x、y、z满足ax=b+c,by=a+c,cz=a+b,求xyz的值

Answer 1

三式子相加,得到ax+by+cz=2(a+b+c)那么,一种可能a=b=c=2;
否则,至少x,y,z有一个小于2,不妨设x=1（因为都是正整数,只能取1）,
那么a=b+c
代入其余两个式子得到4=（z-1）*（y-1）
由于都是正整数,所以,明显看出z和y只能取（2,5）和（3,3）.
综上,xyz只能是2*2*2=8,或1*2*5=10,或1*3*3=9