已知（b-c)LOGmX+(c-a)LOGmY+(a-b)LOGmZ=o,设a,b,c成等差数列,且公差不为零,求证x,z,y成等比数列.

Question

已知（b-c)LOGmX+(c-a)LOGmY+(a-b)LOGmZ=o,设a,b,c成等差数列,且公差不为零,求证x,z,y成等比数列.

Answer 1

设公差为p 则b-c=-p c-a=2p a-b=-p
（b-c）log m x = log m x^(-p ) (c-a)log m y=log m y^2p
(a-b)log m z=log m z^(-p)
log m a +log m b =log m a*b
所以 原式=log m x^(-p)*y^（2p）*z^（-p）=0
所以 x^(-p)*y^(2p)*z^(-p)=1 即x^(-1)*y^2*z^(-1)=1
所以 y^2=x*z 即z/y=y/x
所以 x y z 成等比数列
x^(-p) 表示 x 的 -p 次方