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问一个高等数学的问题...设f''(x)存在,求证lim(h→0)[f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]/h^2=f''(x)
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问一个高等数学的问题...
设f''(x)存在,求证 lim(h→0) [f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]/h^2=f''(x)
设f''(x)存在,求证 lim(h→0) [f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]/h^2=f''(x)
▼优质解答
答案和解析
使用一次洛必达法则,再使用导数的定义
lim(h→0) [f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]/h^2
=lim(h→0) [2f'(x+2h)-2f'(x+h)]/(2h)
=lim(h→0) [f'(x+2h)-f'(x+h)]/h
=lim(h→0) {2×[f'(x+2h)-f'(x)]/(2h)-[f'(x+h)-f'(x)]/h}
=2×lim(h→0)[f'(x+2h)-f'(x)]/(2h)-lim(h→0)[f'(x+h)-f'(x)]/h
=2×f''(x)-f''(x)
=f''(x)
lim(h→0) [f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]/h^2
=lim(h→0) [2f'(x+2h)-2f'(x+h)]/(2h)
=lim(h→0) [f'(x+2h)-f'(x+h)]/h
=lim(h→0) {2×[f'(x+2h)-f'(x)]/(2h)-[f'(x+h)-f'(x)]/h}
=2×lim(h→0)[f'(x+2h)-f'(x)]/(2h)-lim(h→0)[f'(x+h)-f'(x)]/h
=2×f''(x)-f''(x)
=f''(x)
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