设数列{xn}满足x1=π2，xn+1=sinxn，n=1，2，3，…，（1）试证明此数列极限存在，并求出limn→∞xn；（2）试求limn→∞(xn+1xn)1x2n．

Question

设数列{x_n}满足x₁=(π)/(2)，x_n+1=sinx_n，n=1，2，3，…，
（1）试证明此数列极限存在，并求出

lim

n→∞

xn；
（2）试求

lim

n→∞

((xn+1)/(xn))(1)/(x2n)．

Answer 1

（1）证明：由归纳假设知，0＜x_n≤1，n=1，2，3，…，
又x_n+1=sinx_n≤x_n，
由单调有界准则可知此数列极限存在；
令a＝

lim

n→∞

xn，则由x_n+1=sinx_n，得a=sina，
故

lim

n→∞

xn＝a＝0；
（2）∵

lim

n→∞

((xn+1)/(xn))(1)/(x2n)＝

lim

n→∞

((sinxn)/(xn))(1)/(x2n)
=

lim

x→0

((sinx)/(x))(1)/(x2)＝e

lim

x→0

(ln((sinx)/(x)))/(x2)
=e

lim

x→0

(sinx−x)/(x3)＝e

lim

x→0

(cosx−1)/(3x2)＝e−(1)/(6)．