已知n为正整数，二次方程x2+（2n+1）x+n2=0的两根为αn，βn，求下式的值：1(α3+1)(β3+1)+1(α4+1)(β4+1)+…+1(α20+1)(β20+1)．

Question

已知n为正整数，二次方程x²+（2n+1）x+n²=0的两根为α_n，β_n，求下式的值：(1)/((α3+1)(β3+1))+(1)/((α4+1)(β4+1))+…+(1)/((α20+1)(β20+1))．

Answer 1

由韦达定理，有α_n+β_n=-（2n+1），α_nβ_n=n²．
于是，对正整数n≥3，有

(1)/((αn+1)(βn+1))＝(1)/(αnβn+αn+βn+1)＝(1)/(n2−(2n+1)+1)

                     ＝(1)/(n(n−2))＝(1)/(2)((1)/(n−2)−(1)/(n))

∴原式=(1)/(2)（1-(1)/(3)）+(1)/(2)（(1)/(2)-(1)/(4)）+…+(1)/(2)（(1)/(18)-(1)/(20)）
=(1)/(2)（1+(1)/(2)-(1)/(19)-(1)/(20)）
=(531)/(760)．