已知关于x的方程x2-2tx-1=0的两不等实根为x1，x2（x1＜x2），函数f（x）=x−tx2+1的定义域为[x1，x2]．（1）求f（x1）•f（x2）的值；（2）设maxf（x）表示函数f（x）的最大值，minf（x）表示函数f（

Question

已知关于x的方程x²-2tx-1=0的两不等实根为x₁，x₂（x₁＜x₂），函数f（x）=(x−t)/(x2+1)的定义域为[x₁，x₂]．
（1）求f（x₁）•f（x₂）的值；
（2）设maxf（x）表示函数f（x）的最大值，minf（x）表示函数f（x）的最小值，记函数g（t）=maxf（x）-minf（x），求函数h（t）=g（log₂t）•g（log₁2）在t∈（1，2]的值域．

Answer 1

解（1）由韦达定理得：x₁x₂=-1，x₁+x₂=2t，
则f（x₁）f（x₂）=(x1−t)/(x12+1)•(x2−t)/(x22+1)=(x1x2−t(x1+x2)+t2)/(x12x22+(x1+x2)2−2x1x2+1)＝−(1)/(4)．
（2）f′(x)＝(x2+2tx+1)/((x2+1)2)，由于x₁，x₂为方程x²-2tx-1=0的两实根，
故当x∈[x₁，x₂]时，x²-2tx-1≤0恒成立，得f′（x）≥0在[x₁，x₂]上恒成立，
所以f（x）在[x₁，x₂]上递增，
所以由题意知g（t）=f（x₂）-f（x₁）=(x2−t)/(x22+1)−(x1−t)/(x12+1)，
结合（1），将1=-x₁x₂，t=(x1+x2)/(2)代入上式化简得
g（t）=(x1−x2)/(2x1x2)=√(t2+1)．
在h（t）中，令u=log₂t，则u∈（0，1]，
则函数化为y=√(u2+1)•√((1)/(u2)+1)，化简得y＝(u2+1)/(u)＝u+(1)/(u)，u∈（0，1]，
根据对勾函数的性质，该函数在（0，1]上递减，
所以函数h（t）的值域为[2，+∞）．