设二次型f（x1，x2，x3）=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正负惯指数都是1，试计算a的值并用正交变换将二次型化为标准型．

Question

设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x₁²+ax₂²+x₃²+2x₁x₂-2x₂x₃-2ax₁x₃的正负惯指数都是1，试计算a的值并用正交变换将二次型化为标准型．

Answer 1

二次型的矩阵为A=

1	1	−a
1	a	−1
−a	−a	1

．
由二次型的正负惯性指数都是1，可知r（A）=2．
由

.

A

.

=

.

1	1	−a
1	a	−1
−a	−1	a

.

=-（a+2）（a-1）²=0，
可得a=-2，或a=1．
又a=1时，显然r（A）=1，
故只取a=-2．
此时|λE-A|=λ（λ+3）（λ-3），
所以A的特征值是3，-3，0．
①当λ₁=3时，解方程组（3E-A）X=0，得基础解系为α1＝(1，0，1)T．
②当λ₂=-3时，解方程组（-3E-A）X=0，得基础解系为α2＝(1，−2，−1)T．
③当λ₃=0时，解方程组（0E-A）X=0，得基础解系为α3＝(1，1，−1)T．
将α₁，α₂，α₃单位化得：
β1＝((1)/(√(2))，0，(1)/(作业帮用户2016-12-16举报举报该用户的提问举报类型（必填）色情低俗辱骂攻击侮辱英烈垃圾广告不良流行文化骗取采纳其他举报理由（必填）0/100提交扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)