已知函数f(x)=1/2x^2-mlnx+(m-1)x,m属于R1,当m=2时,求f(x)的最小值2,当m-1

Question

已知函数f(x)=1/2x^2-mlnx+(m-1)x,m属于R
1,当m=2时,求f(x)的最小值
2,当m-1

Answer 1

（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域为（0,+∞）．
当m=2时,f'（x）=x2+x-2x．
∴当x∈（0,1）时,f'（x）＜0,x∈（1,+∞）时,f'（x）＞0．
∴f（x）在x=1时取得最小值,其最小值为f（1）=3/2．（4分）
（Ⅱ）∵f'（x）=x-mx+（m-1）=x2+(m-1)x-mx=(x-1)(x+m)x,
∴（1）当-1＜m≤0时,若x∈（0,-m）时,f'（x）＞0,f（x）为增函数；
当x∈（-m,1）时,f'（x）＜0,f（x）为减函数；
x∈（1,+∞）时,f'（x）＞0,f（x）为增函数．
（2）当m≤-1时,x∈（0,1）时,f'（x）＞0,f（x）为增函数；
x∈（1,-m）时,f'（x）＜0,f（x）为减函数；
x∈（-m,+∞）时,f'（x）＞0,f（x）为增函数．（9分）
（Ⅲ）当m=-1时,函数f（x）=1/2x2+lnx-2x．
构造辅助函数g（x）=f（x）+x,并求导得
g'（x）=x+1x-1=x2-x+1x=(x-
12)2+
34x．
∴g'（x）＞0,g（x）为增函数．
∴对任意0＜x1＜x2,都有g（x1）＜g（x2）成立,
即f（x1）+x1＜f（x2）+x2．
即f（x1）-f（x2）＞x1-x2．
又∵x1-x2＜0,
∴f(x2)-f(x1)x2-x1＞-1．（14分）