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设l是圆x^2+y^2=4x的一周,则曲线积分∫√(x^2+y^2)ds
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设l是圆x^2+y^2=4x的一周,则曲线积分∫√(x^2+y^2)ds
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答案和解析
设曲线C是圆x²+y²=4x的一周,则对弧长的曲线积分∫√(x²+y²)ds=?
由x²+y²=4x,得(x-2)²+y²=4,故曲线C是一个园心在(2,0),半径R=2的园.
将曲线C的方程改写成参数形式:x=2(1+cos2t),y=2sin2t;(-π/2≦t≦π/2);
dx=-4sin2tdt,dy=4cos2tdt;ds=√[16(sin²2t+cos²2t)]dt=4dt;
于是得[C]∫√(x²+y²)ds=[-π/2,π/2]∫√[4(1+cos2t)²+4sin²2t)][4dt]
=[-π/2,π/2]8∫√(2+2cos2t)dt=[-π/2,π/2]8(√2)∫√(1+cos2t)dt
=[-π/2,π/2]8(√2)∫√(2cos²t)dt
=[-π/2,π/2]16∫costdt=16sint∣[-π/2,π/2]=32
由x²+y²=4x,得(x-2)²+y²=4,故曲线C是一个园心在(2,0),半径R=2的园.
将曲线C的方程改写成参数形式:x=2(1+cos2t),y=2sin2t;(-π/2≦t≦π/2);
dx=-4sin2tdt,dy=4cos2tdt;ds=√[16(sin²2t+cos²2t)]dt=4dt;
于是得[C]∫√(x²+y²)ds=[-π/2,π/2]∫√[4(1+cos2t)²+4sin²2t)][4dt]
=[-π/2,π/2]8∫√(2+2cos2t)dt=[-π/2,π/2]8(√2)∫√(1+cos2t)dt
=[-π/2,π/2]8(√2)∫√(2cos²t)dt
=[-π/2,π/2]16∫costdt=16sint∣[-π/2,π/2]=32
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