已知f（x）=10x-10-x/10x10-x已知f（x）=10x-10-x/10x10-x（1）判断函数f(x）的奇偶性（2）证明f(x)在定义域内是增函数（3）求f(x)的值域

Question

已知f（x）=10x-10-x/10x 10-x
已知f（x）=10^x-10^-x/10^x 10^-x （1）判断函数f(x）的奇偶性（2）证明f(x)在定义域内是增函数（3）求f(x)的值域

Answer 1

f(x)=[10^x-10^(-x)]/[10^x+10^(-x)]
f(-x)=[10^(-x)-10^x]/[10^(-x)+10^x]
所以有f(x)=-f(-x)
且定义域是R,故函数是奇函数.
f(x)上下乘10^x
f(x)=(10^2x-1)/(10^2x+1)=(10^2x+1-2)/(10^2x+1)
=(10^2x+1)/(10^2x+1)-2/(10^2x+1)
=1-2/(10^2x+1)
因为10^2x>0,所以分母不为0
所以定义域是R
令a>b
则f(a)-f(b)=1-2/(10^2a+1)-1+2/(10^2b+1)
=2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)
分母显然大于0
(10^2a+1)-(10^2b+1)=10^2a-10^2b
a>b,2a>2b
所以10^2a-10^2b>0
所以2[(10^2a+1)-(10^2b+1)]/(10^2a+1)(10^2b+1)>0
即a>b时
f(a)>f(b)
所以f(x)是定义域内的增函数
f(x)=1-2/(10^2x+1)
10^2x>0
10^2x+1>1
所以0<1/(10^2x+1)<1
-21-2<1-2/(10^2x+1)<1+0
所以值域(-1,1)