已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C。（1）求直线l的解析式；（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y=x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系

Question

已知直线l经过A（6，0）和B（0，12）两点，且与直线y=x交于点C。
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（x，0）在线段OA上运动，过点P作l的平行线交直线y=x于D，求△PCD的面积S与x的函数关系式；S有最大值吗？若有，求出当S最大时x的值；
（3）若点P（x，0）在x轴上运动，是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）设直线l解析式为y=kx+b， 将A（6，0）和B（0，12）代入， 得： ， 解得： ， ∴直线l解析式为y=-2x+12；
（2）解方程组： ， 得： ， ∴点C的坐标为（4，4）， ∴S △COP = x×4=2x； ∵PD∥l， ∴△OPD∽△OAC， ∴ ， 而 ， ∴ ， 即 ， ∴△PCD的面积S与x的函数关系式为： S=- x 2 +2x， ∵S=- （x-3） 2 +3， ∴当x=3时，S有最大值，最大值是3；
（3）存在点P，使得△PCA成为等腰三角形， ∵点C的坐标为（4，4），A（6，0）， 根据P 1 C=CA，P 3 A=AC，P 2 A=AC，P 4 C=P 4 A时分别求出即可， 当P 1 C=CA时，P 1 （2，0）， 当P 2 A=AC时，P 2 （6-2 ，0）， 当P 3 A=AC时，P 3 （6+2 ，0）， 当P 4 C=P 4 A时，P 4 （1，0）， ∴点P的坐标分别为： P 1 （2，0），P 2 （6-2，0），P 3 （6+2 ，0），P 4 （1，0）。