已知x1,x2是方程x²-3x+1=0的2个根,则4x1²-12x2+11的值为很明显答案是7.但我有疑问.x²-3x=-1,我认为是在x相同的情况下才成立,假如前者是x1,后者是x2,为什么也成立?又好像不是7。糊涂了

Question

已知x1,x2是方程x²-3x+1=0的2个根,则4x1²-12x2+11的值为
很明显答案是7.
但我有疑问.
x²-3x=-1,我认为是在x相同的情况下才成立,假如前者是x1,后者是x2,为什么也成立?
又好像不是7。糊涂了

Answer 1

显然,x1＝x2时原式＝7
当x1≠x2时,由根与系数关系得：x1＋x2＝3,x1x2＝1
令A＝4x1^2－12x2＋11,B＝4x2^2－12x1＋11
则A＋B
＝4(x1^2＋x2^2)－12(x1＋x2)＋22
＝4[(x1＋x2)^2－2x1x2]－12(x1＋x2)＋22
＝4×(3^2－2)－12×3＋22
＝28－36＋22
＝14
A－B
＝4(x1^2－x2^2)＋12(x1－x2)
＝4(x1－x2)(x1＋x2＋3)
＝24(x1－x2)
＝±24√[(x1－x2)^2]
＝±24[(x1＋x2)^2－4x1x2]
＝±24√5
∴A＝1/2[(A＋B)＋(A－B)]＝7±12√5