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设x=y(x-y)^2,求∫dx/x-3y
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设x=y(x-y)^2 ,求∫dx/x-3y
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令x-y=u, x/y=v
∵x=y(x-y)²
∴v=u²
∴x=uv/(v-1)=u³/(u²-1)
y=u/(v-1)=u/(u²-1)
∴dx=[(u^4-3u²)/(u²-1)²]du
x-3y=(u³-3u)/(u²-1)
∴1/(x-3y)=(u²-1)/(u³-3u)
∴∫dx/(x-3y)
=∫[(u²-1)/(u³-3u)]*[(u^4-3u²)/(u²-1)²]du
=∫u/(u²-1)du
=(1/2)ln|u²-1|+C
=(1/2)ln|(x-y)²-1|+C
C为任意常数
令x-y=u, x/y=v
∵x=y(x-y)²
∴v=u²
∴x=uv/(v-1)=u³/(u²-1)
y=u/(v-1)=u/(u²-1)
∴dx=[(u^4-3u²)/(u²-1)²]du
x-3y=(u³-3u)/(u²-1)
∴1/(x-3y)=(u²-1)/(u³-3u)
∴∫dx/(x-3y)
=∫[(u²-1)/(u³-3u)]*[(u^4-3u²)/(u²-1)²]du
=∫u/(u²-1)du
=(1/2)ln|u²-1|+C
=(1/2)ln|(x-y)²-1|+C
C为任意常数
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