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求二元函数z=x2+4y2+9在区域x2+y2≤4的最大值、最小值.
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求二元函数z=x2+4y2+9在区域x2+y2≤4的最大值、最小值.
▼优质解答
答案和解析
解 由z=x2+4y2+9,得zx=2x,zy=8y,
令zx=zy=0,得驻点(0,0),
在闭区域D上由驻点(0,0),计算z(0,0)=9
在闭区域D的边界x2+y2=4上,有
z=x2+4y2+9=x2+4(4-x2)+9=25-3x2,其中x∈[-2,2]
则在边界上最大值为25,最小值13
故在闭区域D上最大值为25,最小值为9
令zx=zy=0,得驻点(0,0),
在闭区域D上由驻点(0,0),计算z(0,0)=9
在闭区域D的边界x2+y2=4上,有
z=x2+4y2+9=x2+4(4-x2)+9=25-3x2,其中x∈[-2,2]
则在边界上最大值为25,最小值13
故在闭区域D上最大值为25,最小值为9
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