求微分方程y′″+6y″+（9+a2）y′=1的通解，其中常数a＞0．

Question

求微分方程y′″+6y″+（9+a²）y′=1的通解，其中常数a＞0．

Answer 1

由：y″′+6y″+（9+a²）y′=1，其中常数a＞0，
上面等式两边同时从0到x积分，得：
y″+6y′+（9+a²）y=x+c，①
而①式对应的齐次微分方程为：
y″+6y′+（9+a²）y=0，
其对应的特征方程为：
r²+6r+9+a²=0，
求得特征根为：r_1，2=-3±ai，
所以，①式对应的齐次微分方程通解为：
Y=e^-3x（c₁sinax+c₂cosax），
设①特解为：y^*=C₁x+C₂
代入①式，可得：
C1＝(1)/(9+a2)，C2＝(c)/(9+a2)−(6)/((9+a2)2)，
所以：y*＝(1)/(9+a2)x+(c)/(9+a2)−(6)/((9+a2)2)
所以，微分方程y'''+6y''+（9+a²）y′=1的通解为：
y＝Y+y*＝e−3x(c1sinax+c2cosax)+(1)/(9+a2)x+(c)/(9+a2)−(6)/((9+a2)2)．