求解一道复数证明几何问题已知Z1,Z2,Z3三个复数,若满足Z1^2+Z2^2+Z3^2-Z1Z2-Z1Z3-Z2Z3=0,求证以Z1,Z2,Z3为顶点的三角形是正三角

Question

求解一道复数证明几何问题
已知Z1,Z2,Z3三个复数,若满足Z1^2+Z2^2+Z3^2-Z1Z2-Z1Z3-Z2Z3=0,求证以Z1,Z2,Z3为顶点的三角形是正三角

Answer 1

Z1^2+Z2^2+Z3^2-Z1Z2-Z1Z3-Z2Z3=0等价于(z2-z1)^2-(z2-z1)(z3-z1)+(z3-z1)^2=0,可以解出z2-z1=(1+sqrt(3)i)/2*(z3-z1),或z2-z1=(1-sqrt(3)i)/2*(z3-z1),由复数乘法的几何意义,z2-z1与z3-z1对应的向量长度相等,且夹角是60度,即以Z1,Z2,Z3为顶点的三角形是正三角形