求由方程2x2+y2+z2+2xy-2x-2y-4z+4=0所确定的隐函数z=z（x，y）的极值．

Question

求由方程2x²+y²+z²+2xy-2x-2y-4z+4=0所确定的隐函数z=z（x，y）的极值．

Answer 1

方程对x求导可得，
4x+2z(∂z)/(∂x)+2y-2-4(∂z)/(∂x)=0，①
计算可得，(∂z)/(∂x)=-(2x+y-1)/(z-2)．
方程对y求导可得，
2y+2z(∂z)/(∂y)+2x-2-4(∂z)/(∂y)=0，②
计算可得，(∂z)/(∂y)=-(x+y-1)/(z-2)．
由(∂z)/(∂x)=(∂z)/(∂y)=0可得，x=0，y=1．
将x=0，y=1代入方程可得，
z²-4z+3=0，
故z=1或3．
计算z的二阶导数，
A=(∂2z)/(∂x2)=-(2(z-2)+(2x+y-1)(∂z)/(∂x))/((z-2)2)，
B=(∂2z)/(∂x∂y)=-((z-2)-(2x+y-1)(∂z)/(∂y))/((z-2)2)，
C=(∂2z)/(∂y2)=-((z-2)-(x+y-1)(∂z)/(∂y))/((z-2)2)．
x=0，y=1，z=1时，
A=2，B=1，C=1，
AC-B²>0，且A>0，
故z₁（0，1）=1是隐函数z=z（x，y）的极小值．
x=0，y=1，z=4时，
A=-1，B=-(1)/(2)，C=-(1)/(2)，
AC-B²>0，且A<0，
故z₁（0，1）=4是隐函数z=z（x，y）的极小值．