4.设消费者对(x1,x2)的效用函数是U=min（x1,x2）,X1价格为1,X2的价格为1,消费者的收入是m=100.（1）计算当P1从1变到1/2时对X1需求的变化.（2）计算该变化的Slutsky替代效应和收入效应5.消费

Question

4.设消费者对(x1,x2 ) 的效用函数是U= min（ x1 ,x2 ）,X1 价格为1,X2 的价格为1,消费者的收入是m =100.
（1）计算当P1从1 变到1/2 时对X1需求的变化.
（2）计算该变化的Slutsky 替代效应和收入效应
5.消费者对(x1,x2 ) 的效用函数是拟线性的（quasi-linear utility function） U = x1 + ln x 2,
x1的价格为1,X2 的价格为P2,消费者的收入是m .
（1）求X1,X2的需求函数.
（2）当收入至少为多少时,增加收入不会增加对X2 的消费.
6.设一个人做两期决策,第一期工作,第二期退休,工作的净收入是10000 元,退休期
的退休金为收入的60％.用C1代表第一期的消费开支,用C2 代表第二期的消费开支,她的跨期效用函数是U = c1c2 .
（1）假定有银行可以提供存贷款服务,存贷款利率是10％.问她两期的消费分别是多少?
（2）假定没有这种金融服务,也没有其他投资渠道,问她两期的消费分别是多少?她的效用比第一种情形高还是低.

Answer 1

4.解（1）u=min（x1,x2）,显然x1与x2是互补品,且消费比例是1：1；初始的预算约束为x1+x2=100,显然,初始均衡为（x1,x2）=（50,50）,u=min（x1,x2）=50.当x1的价格由1下降到0.5时,预算约束为0.5x1+x2=100,根据1：1的消费比例,得到x1=x2=200/3,新的均衡点为（x1,x2）=（200/3,200/3）,u=200/3,△x1=+16.7.
（2）斯勒茨基分解以保持原来的消费水平不变化为前提,那么,通过初始均衡点做出预算补偿线,可以发现,与补偿线“相切”的无差异曲线就是原来的无差异曲线,因此完全互补条件下的斯勒茨基分解,没有替代效应,只有收入效应.因此TE(x1)=IE(x1)=16.7,SE(x1)=0.
5.解（1）做消费者最优规划：max u=x1+lnx2,s.t.x1+p2x2≤m,x1,x2≥0,构造拉格朗日辅助函数：L=x1+lnx2+t(m-x1-p2x2),这一规划的库恩-塔克条件为：
[1]L1=1-t≤0,x1≥0,x1*L1=0
[2]L2=(1/x2)-tp2≤0,x2≥0,x2*L2=0
[3]Lt= m-x1-p2x2≥0,t≥0,t*Lt=0
根据多多益善的假定,收入应当花完,因此[3]Lt=0,因此预算约束应当是紧的：t〉0；根据函数的定义：x2>0,那么L2=(1/x2)-tp2=0,所以库恩-塔克条件就化简为如下两种情形：
第一：x1=0,x2>0,t>0,那么：L1=1-t≤0,L2=(1/x2)-tp2=0,Lt= m-x1-p2x2=0,得到需求函数x1=0,x2=m/p2,t=1/m,并且满足参数条件：00.x2>0.t>0,(此时就是存在内点解得情况),得到x1=m-1,x2=1/p2,t=1,并且满足参数条件m>1.
（2）由（1）得到,当收入较低时,只消费x2,当收入较高时,两种商品都消费,临界值为1.在较高收入水平上,x2的消费时固定的,为1/p2,因此当收入至少为1时,收入的增加不会引起x2消费的增加
6.解（1）：做跨期最优规划：max u=c1c2,s.t.(1+r)c1+c2=(1+r)m1+m2,这里m1=10000,m2=6000,r=10%,假定消费价格为1.由于不能不消费,即c1,c2>0,因此仅有内点解；得到c1=8500/1.1≈7727.3,c2=8500.
（2）做法同上,但是r=0,c1=c2=8000.显然u(7727.3,8500)>u(8000,8000).效用降低了,