求证：x1的四次方+x2的四次方+...+x14的四次方=1599无正整数解

Question

求证：x1的四次方+x2的四次方+...+x14的四次方=1599无正整数解

Answer 1

证得比较罗嗦或而有错,请指正
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证明:
因为7的4次方为2401,2401>1599
所以这14个未知数,必须小于7
小于7的正整数,只有1,2,3,4,5,6
1^4=1,2^4=16,3^4=81,4^4=256,5^4=625,6^4=1296
考察上面数字,尾数只有1,5,6这3种情况
由于14/3=4...2,说明至少有5个数,其尾数相同(抽屉原理)
1 假设5个尾数为1,其和的尾数为5,剩下9个数的尾数为5和6
5+5X+6(9-X)=59+4X,欲使其尾数为9 必须X=5,即尾数为5的数有5个
2 假设5个尾数为5,其和的尾数为5,剩下9个数的尾数为1,6
5+1X+6(9-X)=59-5x,欲使其尾数为9 ,X为4
3 假设5个尾数为6,其和的尾数为0,剩下9个数的尾数为1,5
0+1X+5(9-X)=45-4x,欲使其尾数为9 ,X为4,则尾数为5的数有5个
上面假设都得出一个结论,要使有正整数解,必须有5个尾数为5的解
而能产生尾数为5的数只有5,且5^4=625,5个625为3075,它大于1599,
3075>1599,不合题意,无解.
得证.