已知函数f（x）=13x3+x2+ax，若g（x）=1ex，对任意x1∈[12，2]，存在x2∈[12，2]，使f'（x1）≤g（x2）成立，则实数a的

Question

已知函数f（x）= (1)/(3)x³+x²+ax，若g（x）= (1)/(ex)，对任意x₁∈[ (1)/(2)，2]，存在x₂∈[ (1)/(2)，2]，使f'（x₁）≤g（x₂）成立，则实数a的取值范围是___．

Answer 1

对任意x1∈[(1)/(2)，2]，存在x2∈[(1)/(2)，2]，使f'（x₁）≤g（x₂），
∴[f'（x）]_max≤[g（x）]_max，
∵函数f（x）=(1)/(3)x³+x²+ax，g（x）=(1)/(ex)，
∴f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1，
∵f'（x）=（x+1）²+a-1在[(1)/(2)，2]上单调递增，
∴f'（x）_max=f'（2）=8+a，
g（x）在[(1)/(2)，2]上单调递减，则g(x)max=g((1)/(2))=(√(e))/(e)，
∴8+a≤(√(e))/(e)，解得a≤(√(e))/(e)-8．
∴实数a的取值范围是(-∞，(√(e))/(e)-8]．
故答案为：(-∞，(√(e))/(e)-8]．