整数x0，x1，x2，x3，…，x2003满足条件：x0=0，|x1|=|x0+1|，|x2|=|x1+1|，|x3|=|x2+1|，…，|x2003|=|x2002+1|．（1）试用仅含x2003的代数式表示|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|，（2）求|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|的最小值．

Question

整数x₀，x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₀₃满足条件：x₀=0，|x₁|=|x₀+1|，|x₂|=|x₁+1|，|x₃|=|x₂+1|，…，|x₂₀₀₃|=|x₂₀₀₂+1|．
（1）试用仅含x₂₀₀₃的代数式表示|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|，
（2）求|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|的最小值．

Answer 1

（1）由已知得：

x

2 1

＝

x

2 0

+2x0+1

x

2 2

＝

x

2 1

+2x1+1

x

2 3

＝

x

2 2

+2x2+1

x

2 2003

＝

x

2 2002

+2x2002+1．

于是x₂₀₀₃²=x₀²+2（x₀+x₁+x₂+x₂₀₀₂）+2003，
又∵x₀=0，
∴2（x₁+x₂+x₂₀₀₃）=x₂₀₀₃²+2x₂₀₀₃-2003=（x₂₀₀₃+1）²-2004，
即|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|=(1)/(2)|（x₂₀₀₃+1）²-2004|．

（2）由于x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃为整数，则x₂₀₀₃+1是偶数，
比较|44²-2004|与|46²-2004|的大小，可得：
|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|≥(1)/(2)|44²-2004|=34．
当x₀=x₂=x₄=x₁₉₆₀=0，x₁=x₃=x₅=x₁₉₅₉=-1，x₁₉₆₁=1，x₁₉₆₂=2，x₁₉₆₃=3，x₂₀₀₃=43时，等号成立．
所以|x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₀₂+x₂₀₀₃|的最小值为34．