设fn（x）=x+x2+x3+…+xn（n=2，3，…），证明：（Ⅰ）方程fn（x）=1在[0，+∞）内有唯一实根xn．（Ⅱ）求极限limn→∞xn．

Question

设f_n（x）=x+x²+x³+…+xⁿ（n=2，3，…），证明：
（Ⅰ）方程f_n（x）=1在[0，+∞）内有唯一实根x_n．
（Ⅱ）求极限

lim

n→∞

x_n．

Answer 1

（1）对于n=2，3，…，
f_n（0）=0＜1，f_n（1）=n＞1，
故由连续函数的介值定理可得，∃x_n∈（0，1）⊂[0，+∞），使得f_n（x_n）=1．
又因为∀x＞0，f_n′（x）=1+2x+…+nx^n-1＞0，
故f_n（x）在[0，+∞）上严格单调增，
从而方程f_n（x）=1在[0，+∞）内有唯一实根x_n．
（2）对于任意x＞0，
f_n+1（x）=f_n（x）+xⁿ⁺¹＞f_n（x），
所以f_n+1（x_n）＞f_n（x_n）=1=f_n+1（x_n+1）；
又因为f_n+1（x）在[0，+∞）上严格单调增，
故x_n+1＜x_n，
即{x_n}为单调递减序列．
又因为x_n∈（0，1）为有界序列，
故数列{x_n}收敛，设

lim

n→∞

xn=A≤1．
计算可得，f_n（x）=x+x²+x³+…+xⁿ =(x−xn+1)/(1−x)．
故(xn−xnn+1)/(1−xn)＝1．
令n→+∞可得，
(A)/(1−A)＝1，
求解即得，A=(1)/(2)．
故

lim

n→∞

xn=(1)/(2)．