如图，已知焦点在x轴上的椭圆x28+y2b2=1（b＞0）有一个内含圆x2+y2=83，该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且OM⊥ON（O为原点）．（1）求b的值；（2）设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B

Question

如图，已知焦点在x轴上的椭圆(x2)/(8)+(y2)/(b2)=1（b＞0）有一个内含圆x²+y²=(8)/(3)，该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且

OM

⊥

ON

（O为原点）．
（1）求b的值；
（2）设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B．求证：

OA

⊥

OB

，并求|AB|的取值范围．

Answer 1

（1）当MN⊥x轴时，MN的方程是x=±√((8)/(3))，
设M（±√((8)/(3))，y₁），N（±√((8)/(3))，-y₁），
由

OM

⊥

ON

知|y₁|=√((8)/(3))，
即点（√((8)/(3))，√((8)/(3))）在椭圆上，代入椭圆方程得b=2．（3分）
（2）证明：当l⊥x轴时，由（1）知

OA

⊥

OB

；
当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y=kx+m，即kx-y+m=0
则(|m|)/(√(1+k2))=√((8)/(3))，即3m²=8（1+k²）（5分）
y=kx+m代入椭圆方程可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=(32)/(3)（4k²+1）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则x₁+x₂=(4km)/(1+2k2)，x₁x₂=(2m2−8)/(1+2k2)，（7分）
所以x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=(3m2−8(1+k2))/(1+2k2)=0，即

OA

⊥

OB

．
即椭圆的内含圆x²+y²=(8)/(3)的任意切线l交椭圆于点A、B时总有

OA

⊥

OB

．（9分）
当l⊥x轴时，易知|AB|=2√((8)/(3))=(4√(6))/(3)（10分）
当l不与x轴垂直时，|AB|=√(1+k2)•√((x1+x2)2−4x1x2)=(4√(6))/(3)•√(((1+k2)(4k2+1))/((1+2k2)2))（12分）
设t=1+2k²∈[1，+∞），(1)/(t)∈（0，1]
则|AB|=(4√(6))/(3)•√((2t2+t−1)/(2t2))=(4√(6))/(3)•√(−(1)/(2)((1)/(t)−(1)/(2))2+(9)/(8))
所以当(1)/(t)=(1)/(2)即k=±(√(2))/(2)时|AB|取最大值2√(3)，
当(1)/(t)=1即k=0时|AB|取最小值(4√(6))/(3)，
综上|AB|∈[(4√(6))/(3)，2√(3)]．（14分）