设区域D为x2+y2≤R2，则∫∫D（x2a2+y2b2）dxdy=(1a+1b)πR24(1a+1b)πR24．

Question

设区域D为x²+y²≤R²，则

∫∫

D

（(x2)/(a2)+(y2)/(b2)）dxdy=

((1)/(a)+(1)/(b))(πR2)/(4)

((1)/(a)+(1)/(b))(πR2)/(4)

．

Answer 1

因为积分区域D对于 x，y 具有轮换性质，故  

∬

D

x2dxdy=

∬

D

 y2 dxdy=(1)/(2)

∬

D

(x2+y2) dxdy．
从而，所求积分值
I=

∫∫

D

（(x2)/(a2)+(y2)/(b2)）dxdy=(1)/(a)

∬

D

x2 dxdy+(1)/(b)

∬

D

y2dxdy=(1)/(2)((1)/(a)+(1)/(b))

∬

D

(x2+y2) dxdy，
利用极坐标系变换可得，

∬

D

(x2+y2) dxdy=

∫

2π 0

dθ

∫

R 0

r2rdr=(πR4)/(2)，
故 I=((1)/(a)+(1)/(b))(πR2)/(4)．