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若正数x,y满足15x-y=22,则x3+y3-x2-y2的最小值为.
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若正数x,y满足15x-y=22,则x3+y3-x2-y2的最小值为___.
▼优质解答
答案和解析
由正数x,y满足15x-y=22,可得y=15x-22>0,则x>
,y>0,
又x3+y3-x2-y2=(x3-x2)+(y3-y2),
其中y3-y2+
y=y(y2-y+
)=y(y-
)2≥0,
即y3-y2≥-
y,
当且仅当y=
时取得等号,
设f(x)=x3-x2,f(x)的导数为f′(x)=3x2-2x=x(3x-2),
当x=
时,f(x)的导数为
×(
-2)=
,
由x3-x2≥
x-
⇔(x-
)2(x+2)≥0,
当x=
时,取得等号.
则x3+y3-x2-y2=(x3-x2)+(y3-y2)≥
x-
-
y≥
-
=1.
当且仅当x=
,y=
时,取得最小值1.
故答案为:1.
22 |
15 |
又x3+y3-x2-y2=(x3-x2)+(y3-y2),
其中y3-y2+
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
2 |
即y3-y2≥-
1 |
4 |
当且仅当y=
1 |
2 |
设f(x)=x3-x2,f(x)的导数为f′(x)=3x2-2x=x(3x-2),
当x=
3 |
2 |
3 |
2 |
9 |
2 |
15 |
4 |
由x3-x2≥
15 |
4 |
9 |
2 |
3 |
2 |
当x=
3 |
2 |
则x3+y3-x2-y2=(x3-x2)+(y3-y2)≥
15 |
4 |
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2 |
1 |
4 |
9 |
8 |
1 |
8 |
当且仅当x=
3 |
2 |
1 |
2 |
故答案为:1.
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