已知y1＝e3x−xe2x，y2＝ex−xe2x，y3＝−xe2x是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足y（0）=0，y′（0）=1方程的解为．

Question

已知y1＝e3x−xe2x，y2＝ex−xe2x，y3＝−xe2x是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足y（0）=0，y′（0）=1方程的解为______．

Answer 1

由线性微分方程解的性质可得，y₁-y₃ 与 y₂-y₃ 为对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个解．
因为　y₁-y₃=e^3x 与 y₂-y₃=e^x 为线性无关的，
故由解的结构定理，该方程的通解为
y=C₁e^3x+C₂e^x -xe^2x．
把初始条件代入可得　C₁=1，C₂=-1，
所以  y=e^3x-e^x -xe^2x．
故答案为 y=e^3x-e^x -xe^2x．