（1）求满足y4+2x4+1=4x2y的所有整数对（x，y）；（2）求出所有满足5（xy+yz+zx）=4xyz的正整数解．

Question

（1）求满足y⁴+2x⁴+1=4x²y的所有整数对（x，y）；
（2）求出所有满足5（xy+yz+zx）=4xyz的正整数解．

Answer 1

（1）∵y⁴+2x⁴+1=4x²y⇒（2x⁴-4x²y+2y²）+（y⁴-2y²+1）=0⇒2（x²-y）²+（y²-1）²=0，
∴x²-y=0，y²-1=0，
∴原方程的所有整数解为（1，1）、（-1，1）；

（2）∵5（xy+yz+zx）=4xyz⇒(1)/(x)+(1)/(y)+(1)/(z)＝(4)/(5)，
∵4/5=（1/5）+（3/5）=（1/5）+（6/10）=（1/5）+（1/10）+（5/10）=（1/2）+（1/5）+（1/10）．
⇒x，y，z的值循环为2，5，10，
∵(4)/(5)＝(1)/(5)+(3)/(5)＝(1)/(5)+(6)/(10)＝(1)/(5)+(1)/(10)+(5)/(10)=(1)/(5)+(1)/(10)+(1)/(2)，(4)/(5)＝(1)/(4)+(11)/(20)＝(1)/(4)+(1)/(20)+(10)/(20)＝(1)/(4)+(1)/(20)+(1)/(2)，
∴所有满足5（xy+yz+zx）=4xyz的正整数解为（5，10，2）、（5，2，10）、（10，5，2）、（10，2，5）、（2，10，5）、（2，5，10）、（4，20，2）、（4，2，20）、（2，4，20）、（2，20，4）、（20，2，4）、（20，4，2）．