1有一个重心的公式x=(w1r1+w2r2+...wnrn)/(w1+w2+...+wn),怎么证得?能否写一下n=2时的证明?2两个物体叠放在一起,上面物体的质量大,现在同时下落,问两者间有弹力吗?

Question

1有一个重心的公式x=(w1r1+w2r2+...wnrn)/(w1+w2+...+wn),怎么证得?能否写一下n=2时的证明?
2两个物体叠放在一起,上面物体的质量大,现在同时下落,问两者间有弹力吗?

Answer 1

1.利用力矩的平衡证明.重心的意义是：系统各部分的重力相对于重心所形成的力矩平衡,即在重心处置一支点,可以平衡的支撑起整个系统.
n=2时,w1和w2的重心x1必在他们的连线上,设连线与重力的夹角为θ1,则他们各自相对于重心x1的重力矩为
M1=w1(r1-x1)sinθ1
M2=w2(r2-x1)sinθ1
因为两力矩平衡,即合力矩为零,所以
0=M1+M2=w1(r1-x1)sinθ1+w2(r2-x1)sinθ1
解得
x1=(w1r1+w2r2)/(w1+w2)
下面利用数学归纳法进一步证明：
设n=k时重心为
xk=(w1r1+w2r2+...+wkrk)/(w1+w2+...+wk)
则n=k+1时重心x(k+1)在(w1+w2+...+wk)的重心xk与w(k+1)的连线上,设连线与重力的夹角为θk,则他们各自相对于重心x(k+1)的重力矩为
Mk'=(w1+w2+...+wk)[xk-x(k+1)]sinθk
M(k+1)=w(k+1)[r(k+1)-x(k+1)]sinθk
因为两力矩平衡,即合力矩为零,所以
0=Mk'+M(k+1)=(w1+w2+...+wk)[xk-x(k+1)]sinθk+w(k+1)[r(k+1)-x(k+1)]sinθk
解得
x(k+1)=[(w1+w2+...+wk)xk+w(k+1)r(k+1)]/[(w1+w2+...+wk)+w(k+1)]
=[(w1r1+w2r2+...+wkrk)+w(k+1)r(k+1)]/[w1+w2+...+wk+w(k+1)]
=[w1r1+w2r2+...+wkrk+w(k+1)r(k+1)]/[w1+w2+...+wk+w(k+1)]
于是证得：重心x=(w1r1+w2r2+...wnrn)/(w1+w2+...+wn).
2.没有弹力.因为两物体的加速度g一样,下落时间t一样,故相对速度v=v2-v1=gt-gt=0,即两物体始终相对静止,重力加速度全都用来提供下落加速度,不存在相互作用力.